기하급수, 직관을 믿지 마라

체스의 발명 사레

기하급수나 복리에 대해 늘 나오는 체스의 발명에 대한 사례 이야기가 있다.

옛날 인도에 어떤 왕이 있었는데 워낙 전쟁을 좋아하여 백성들이 늘 불안했다고 한다. 그래서 세타라는 승려는 왕의 관심을 돌리기 위해 전쟁과 비슷한 규칙을 가진 체스(서양장기)를 만들었다. 병력의 많고 적음을 떠나 전략에 의해 승패가 좌우되는 변화무쌍한 게임 체스에 재미를 붙이게 된 왕은 진짜 전쟁을 그만두고 체스를 통한 축소판 간접 전쟁을 즐겼다고 한다.

왕은 재미있는 게임을 소개한 세타에게 답례하기 위해 무엇이든 원하는 것을 하사하겠다고 약속했다. 세타는 체스판의 첫 칸에 밀 1알, 둘째 칸에 2알, 셋째 칸에 4알과 같이 두 배씩 밀알을 늘려 체스판의 64칸을 채워달라고 요구했다.

왕은 소박한 제안이라고 생각했지만 사실은 세타의 책략에 넘어간 것이다. 체스판을 이 방식으로 채운다면 톨이므로 계산하면 밀알 18,446,744,073,709,551,615 톨이나 된다. 1㎥에 약 1,500만개의 밀알을 담을 수 있다고 할 때 밀알의 부피는 1,200km3가 넘게 되므로 포상으로 지급하기 불가능한 양이 된다.

 

이 이야기를 찾아보면 승려가 아니라 그냥 발명가라고 나오기도 하고,  밀이 아니라 쌀이라기도 하고, 왕이 발명가를 참수했다고 나오기도 한다. 설명하려고 누군가가 만든 것일 수도 있지만, 어쨋든  이 이야기는  2배씩 증가 하는 기하급수가 얼마나 무섭게 증가 하는지 알게 해주는 것이다.

사람은 기하급수적 증가를 이해하지 못한다.

<제2의 기계시대> 에서 새로운 관점을 배웠다.

사람은 이런 식의 증가가 나중에 얼마나 커질지 가늠하지 못한다는 것이다.  2의 64-1 인 1천 800경의 알은 세계 역사 전체에 결쳐 생산된 쌀을 다 합한 것 보다도 많은데 말이다.

 

‘체스판의 첫 칸에 밀 1알, 둘째 칸에 2알, 셋째 칸에 4알과 같이 두 배씩 쌀알을 늘리는 방식’

 

두번 째 칸 까지는 약 40억이고 논 하나에 해당하므로 왕은 주목하기 시작한다, 그러나 체스의 후반부로 들어서는 순간 숫자는 1조, 1천조, 100 경으로 잘 들어보지는 못하는 숫자 단위가 된다.  체스판은 64칸 밖에 없는데 말이다.


(이미지 출처: 위키피디아)

 

엘버트 바틀렛이 이런 말을 했다고 한다. “인류의 최대 단점은 지수함수를 이해하지 못한다는 것이다” 라고 말이다.

우리도 중고등학교때 지수함수를 배웠으니 이해를 못하는 것은 아니다.

다만 이런 식의 증가가 나중에 되었을때 갑자기 훅 커지는 것을 직관적으로는 예측하지 못한다는 것이다.

마지막에 훅 커지는 것이 처음 시작했을때와 전혀 무관하게 보일 수 있다.  2배씩 증가의 무서움이다.

 

초기에 감 잡는 방법: 로그 함수를 선형눈금에서 로그 눈금으로 변경

<제2의 기계시대> 에서 2배씩 증가하는 지수함수의 y축을 10배씩 로그 눈금으로 바꾸면 아래 그림 처럼 우리에게 익숙한  y=ax+b 의 직선이 된다.

 

 

y축의 눈금을 1씩 증가가 아니라 10배씩 증가하는 것으로 바꾼 것이다.

 

이젠 기하급수적 증가가 익숙한 직선으로 보인다.  이제 초기에 감을 잡을 수 있다. 처음 부터 증가하는 것이 보이니깐 말이다.

 

잘못된 정보 시각화로 사람들에게 거짓 정보를 주는 언론이 아니라,  제대로 정보를 보여줘도 사람은 직관적으로는 이해하지 못하는 경우가 있다.

 

 

인간이 직관적으로 알 수 없는 것을 로그함수 라는 도구를 통해서 해석하게 된다. 기술 철학자 돈 아이디는 이런 도구를 해석학적 관계라고 하기도 했다.  돌도끼만 도구가 아니라 이런 수학도 도구이다.

 

인간의 두뇌 발달에 비해 세상은 너무 빠르게 변한다.  인간은 덜떨어진 하드웨어를 소프트웨어적인 인지정보처리로 땜빵해 나가고 있고, 돌도끼 뿐만 아니라 수학이라는 도구를 이용해서 지각하지 못하는 것을 처리한다.

나는 내 분야의 직관을 늘리기 위해서 노력한다.   그러나 훈련되지 않은 직관은 재앙이다.  더군다나 인간은 덜떨어진 하드웨어를 소프트웨어적인 인지정보처리로 메꾸고 있으니 직관이라고 생각하겠지만 그렇지 않은 경우도 많다. 자기의 감이나 직관은 함부러 믿어서는 안된다.

 




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